Par le Docteur Jean-Paul Van Bendegem
Traduit du néerlandais par Eilko Bronsema
La contribution du Docteur Van Bendegem est brièvement mentionnée dans Le Guide des Cités, à la page 126 de l'édition originale. Nous sommes redevables à Olivier Tissot du travail de détective qui nous a permis de retrouver sa trace et d'obtenir l'autorisation de reproduire l'article suivant.
A la page 19 du livre mentionné ci-dessus, une formule mathématique est utilisée comme argument contre l'existence du Réseau (Web). La formule de Robick,
Un = (2n+1) + 4(1(2n-1) + 2(2n-3) + … + n1)
est, selon de Brock, mathématiquement incorrecte. Le développement du côté droit peut être remplacé par la sommation qui donne la simple relation de de Brok:
Un = (2n+1)(2n2+2n+3)/3
Le commentaire d'Eugen Robick lui-même, noté sur le côté de la page, indique que sa formule représente mieux l'image du réseau. Cela ne peut être interprété que comme une référence à la forme pyramidale - Robick voulait en fait parler d'un octaèdre (voir plus loin) - du Réseau. Dans ce court texte, je voudrais exprimer quatre points :
L'exactitude de l'égalité des formules de Robick et de de Brok.
La représentation incorrecte de la pyramide à la page 18 du livre de de Brok.
La déduction de la formule de Robick et sa relation avec la forme de la pyramide.
La relation simple entre la formule de de Brok et la forme de la pyramide, qui prouve que la formule de de Brok est aussi une représentation fidèle du phénomène.
(1) Commençons par la formule de Robick :
Un = (2n+1) + 4(1(2n-1) + 2(2n-3) + … + n1)
La somme entre les crochets du côté droit est la partie qui nous intéresse :
1.(2n-1) + 2.(2n-3)+ … + n.1
Le nombre de termes de cette somme est n, si la somme est comprise entre 1 et n. Quelle est la forme d'un terme général pour ce développement ? Il s'agit d'un produit dont le premier facteur est un nombre i compris entre 1 et n, donc 1 < = i < = n and the second factor is 2n - 2i + 1 . So the general term is:
i.(2n - 2i +1) (x)
Let me use ∑ to say that we need to make the summation of the terms like (x) where i is between i and n. Then we can make the formula of Robick a bit simpler:
Un = (2n+1) + 4 . ∑ i(2n - 2i + 1)
Dans cette dernière formule, nous pouvons transformer i.(2n - 2i + 1) en i.2n - 2i2 + i . Maintenant, nous pouvons transformer la formule et nous trouverons :
∑ i.(2n - 2i + 1) = ∑ i.2n - ∑ 2i2 + ∑ i
Le premier terme est ∑ i.2n . Comme nous trouvons 2n dans chaque terme, nous pouvons le placer à l'extérieur du signe de sommation (∑) : ∑ i.2n = 2n. ∑ i .
Le troisième terme est ∑ i, nous pouvons donc joindre ces deux termes à (2n+1). ∑ i . La valeur de ∑ i est un résultat mathématique connu:
∑ i = n(n+1)/2
La preuve classique est la suivante :
∑ i = 1 + 2 +3 + … + n -1 + n
∑ i = n + n-1 + n-2 + … + 2 + 1
(l'inversion des termes ne modifie pas la somme).
Additionnez tout :
2. ∑ i = (n+1) + (2+(n-1)+ … + 1)2 + 5.α2/2)/3
Dans cette formule, on peut remplacer (2n+1).α par H et (n+1/2).α par H/2 et √2.H/2 par Z :
I = H.(Z2+5.α2/2)/3
Lorsque nous estimons un très grand nombre de cubes pour une hauteur H donnée (pour obtenir de cette manière une pyramide octogonale “classique”), alors deviendra très petit, donc dans la formule ci-dessus nous pouvons sauter la partie 5.2/2 et garder comme la formule pour le contenu :
I = H.Z2/3
C'est exactement la formule pour le contenu d'un octaèdre!
Cela signifie que la formule de Brock est une représentation discrète de la formule du contenu d'un octaèdre, où le facteur (2n+1) représente la hauteur et (2n2+2n+3) mesure l'aire du carré sur lequel l'octaèdre est construit. On peut donc difficilement nier que la formule de de Brok, comme celle de Robick, contient l'essentiel du réseau (web).
Un dernier petit commentaire : la vision non algébrique mais géométrique d'Eugen Robick est étayée par son commentaire. Il écrit “ma formule, en son expansion infinie,…” (page 19). La formule de Robick contient un développement, mais pour chaque génération Un elle sera finie.